8917. Сфера вписана в четырёхугольную пирамиду SABCD
, основанием которой является трапеция ABCD
, а также вписана в правильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды SABCD
. Найдите радиус сферы, если объём пирамиды SABCD
равен 64.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Пусть AD
и BC
— основания трапеции (AD\gt BC
), а прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
. Предположим, что боковая грань SBC
пирамиды является также гранью правильного тетраэдра. Через прямую, не имеющую со сферой общих точек, можно провести ровно две плоскости, касающиеся сферы, поэтому плоскости остальных граней правильного тетраэдра совпадают с плоскостями SCD
, SAB
и ABCD
. Тогда SBCD
— правильный тетраэдр, что невозможно, так как точка касания сферы с плоскостью ABCD
лежит вне треугольника BCE
. Если же гранью правильного тетраэдра является боковая грань SCD
, то плоскости его остальных граней совпадают с плоскостями SAD
, SBC
и ABCD
, что также невозможно, так как прямая AD
пересечения плоскостей SAD
и ABCD
и прямая BC
пересечения плоскостей SBC
и ABCD
параллельны, а значит, на этих прямых не могут лежать рёбра тетраэдра.
Таким образом, треугольник AED
— грань правильного тетраэдра, о котором говорится в условии задачи, а S
— вершина этого тетраэдра. Тогда ADE
— равносторонний треугольник.
Пусть рёбра правильного тетраэдра SADE
равны a
. Рассмотрим сечение пирамиды SABCD
и тетраэдра плоскостью, проходящей через точки S
, E
и середину M
ребра AD
. Эта плоскость проходит также через середину N
ребра BC
и точки P
и Q
касания сферы с гранями BSC
и ABCD
соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников SQM
и SQN
следует, что NQ=QM=\frac{1}{2}QE
. Значит, N
— середина отрезка QE
и \frac{BC}{AD}=\frac{EN}{EM}=\frac{1}{3}
. Поэтому
S_{\triangle BCE}=\frac{1}{9}S_{\triangle ADE},~S_{ABCD}=S_{\triangle ADE}-S_{\triangle BCE}=\frac{8}{9}S_{\triangle ADE}=\frac{8}{9}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{2a^{2}\sqrt{3}}{9},
V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SQ=\frac{1}{3}\cdot\frac{2a^{2}\sqrt{3}}{9}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2a^{3}\sqrt{2}}{27}=64,
откуда находим, что a=6\sqrt{2}
.
Центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр, совпадает с центром тетраэдра, а так как центр тетраэдра делит каждую его высоту (медиану) в отношении 1:3
, считая от вершины, то радиус вписанной сферы равен четверти высоты правильного тетраэдра, следовательно, если r
— радиус сферы, то
r=\frac{1}{4}SQ=\frac{1}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{1}{4}\cdot6\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1992, билет 5, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 92-5-5, с. 321