8918. Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SABC
(S
— вершина), а также вписана в прямую треугольную призму KLMK_{1}L_{1}M_{1}
, у которой KL=KM=\sqrt{6}
, а боковое ребро KK_{1}
лежит на прямой AB
. Найдите радиус сферы, если известно, что прямая SC
параллельна плоскости LL_{1}M_{1}M
.
Ответ. \sqrt{3}-1
.
Решение. Через прямую, не имеющую со сферой общих точек, можно провести ровно две плоскости, касающиеся сферы, поэтому плоскости граней ABC
и KMM_{1}K_{1}
совпадают, а также совпадают плоскости граней ASB
и KLL_{1}K_{1}
.
Центр O
сферы, вписанной в правильную пирамиду лежит на её высоте (рис. 1). Рассмотрим сечение пирамиды и призмы плоскостью, проходящей через высоту SH
пирамиды и её боковое ребро SC
. В этой плоскости лежит центр O
сферы и середина K_{2}
ребра AB
. Плоскость сечения проведена через прямую SC
, параллельную плоскости LL_{1}M_{1}M
, значит, секущая плоскость пересекает плоскость LL_{1}M_{1}M
по прямой, параллельной SC
. Поэтому, если L_{2}
и M_{2}
— точки, в которых секущая плоскость пересекает боковые рёбра LL_{1}
и MM_{1}
призмы, то L_{2}M_{2}\parallel SC
. При этом сечение сферы проведённой плоскостью — окружность, вписанная в треугольник K_{2}L_{2}M_{2}
(рис. 2), в котором K_{2}L_{2}=K_{2}M_{2}=\sqrt{6}
, а так как L_{2}M_{2}\parallel SC
, то SK_{2}=CK_{2}
. Высота SK_{2}
равнобедренного треугольника ASB
равна высоте CK_{2}
равностороннего треугольника ABC
, поэтому ABS
— также равносторонний треугольник, а правильная пирамида SABC
— правильный тетраэдр.
Обозначим \angle SK_{2}C=\beta
, AB=SC=a
. Из прямоугольного треугольника SHK_{2}
находим, что
\tg\beta=\frac{SH}{HK_{2}}=\frac{a\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}=2\sqrt{2}.
Тогда
\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\beta}}=\frac{1}{\sqrt{1+8}}=\frac{1}{3},~\sin\beta=\frac{2\sqrt{2}}{3},~\sin\frac{\beta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}},
L_{2}M_{2}=2K_{2}L_{2}\sin\frac{\beta}{2}=2\sqrt{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=2\sqrt{2}.
Пусть r
— радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр SABC
. Тогда r
— радиус окружности вписанной в треугольник K_{2}L_{2}M_{2}
. Следовательно,
r=\frac{2S_{\triangle K_{2}L_{2}M_{2}}}{K_{2}L_{2}+K_{2}M_{2}+L_{2}M_{2}}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}K_{2}L_{2}\cdot K_{2}M_{2}\sin\beta}{K_{2}L_{2}+K_{2}M_{2}+L_{2}M_{2}}=
=\frac{2\cdot\frac{1}{2}\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1992, билет 6, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 92-6-5, с. 322