8941. В правильной треугольной пирамиде ABCD
длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием ABC
и боковой гранью равен \arccos\frac{1}{\sqrt{105}}
. Точки K
, M
, N
— середины рёбер AB
, CD
, AC
соответственно. Точка E
лежит на отрезке KM
и 2ME=KE
. Через точку E
проходит плоскость \Pi
перпендикулярно отрезку KM
. В каком отношении плоскость \Pi
делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \Pi
и расстояние от точки N
до плоскости \Pi
.
Ответ. \frac{A_{1}D}{AD}=\frac{B_{1}D}{BD}=\frac{17}{27}
, \frac{C_{1}D}{CD}=\frac{17}{24}
, \frac{289\sqrt{65}}{729}
, \frac{34}{3\sqrt{10}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2000, билет 7, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 00-7-6, с. 393