8942. В правильной треугольной пирамиде ABCD
сторона основания ABC
равна 4, угол между плоскостью основания ABC
и боковой гранью равен \arccos\frac{1}{2\sqrt{6}}
. Точки K
, M
, N
— середины отрезков AB
, DK
, AC
соответственно, точка E
лежит на отрезке CM
и 5ME=CE
. Через точку E
проходит плоскость \Pi
перпендикулярно отрезку CM
. В каком отношении плоскость \Pi
делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \Pi
и расстояние от точки N
до плоскости \Pi
.
Ответ. \frac{A_{1}D}{AD}=\frac{B_{1}D}{BD}=\frac{13}{18}
, \frac{C_{1}D}{CD}=\frac{13}{33}
, \frac{676\sqrt{23}}{891}
, \frac{25}{12}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2000, билет 8, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 00-8-6, с. 394