8943. Тело в форме тетраэдра ABCD
с одинаковыми рёбрами поставлено гранью ABC
на плоскость. Точка F
— середина ребра CD
, точка S
лежит на прямой AB
, S\ne A
, AB=BS
. В точку S
сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F
, чтобы пройденный им путь был минимальным?
Ответ. Минимальный путь состоит из отрезков SP
и PF
, где P\in BC
, BP=\frac{1}{3}BC
.
Решение. Предположим, что путь муравья проходит через точку M
, лежащую на прямой BC
. Пусть N
— середина ребра AC
. Тогда MF=MN
, так как если точка M
отлична от C
, то треугольники CMF
и CMN
равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому SM+MF=SM+MN
.
Пусть прямые SN
и BC
пересекаются в точке P
. Тогда SM+MF=SM+MN\geqslant SN
. Это значит, что минимальный путь проходит через точку P
.
Заметим, что P
— точка пересечения медиан треугольника ACS
. Следовательно, BP:PC=1:2
, BP=\frac{1}{3}BC
.
Примечание. Отношение BP:PC
можно найти по теореме Менелая:
\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CN}{NA}\cdot\frac{AS}{SB}=1~\Rightarrow~\frac{BP}{PC}=\frac{NA}{CN}\cdot\frac{SB}{AS}=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2001, билет 1, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 01-1-5, с. 395