8947. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
четыре числа — длины рёбер и диагонали AC_{1}
— образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d
, причём AA_{1}\lt AB\lt BC
. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R
расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB_{1}A_{1}
, ADD_{1}A_{1}
, ABCD
, а вторая — граней BCC_{1}B_{1}
, CDD_{1}C_{1}
, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD_{1}
и AC_{1}
; в) радиус R
.
Ответ. а) AA_{1}=d\sqrt{2}
, AB=d(\sqrt{2}+1)
, BC=d(\sqrt{2}+2)
;
б) \arccos\frac{1+2\sqrt{2}}{\sqrt{79+52\sqrt{2}}}
;
в) R=d\left(\frac{3+3\sqrt{2}-\sqrt{5+6\sqrt{2}}}{4}\right)
.
Решение. а) Пусть AA_{1}=t
. Тогда AB=t+d
, BC=t+2d
, AC_{1}=t+3d
. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда
AC_{1}^{2}=AA_{1}^{2}+AB^{2}+BC^{2},~(t+3d)^{2}=t^{2}+(t+d)^{2}+(t+2d)^{2},
откуда находим, что AA_{1}=t=d\sqrt{2}
. Тогда AB=t+d=d(\sqrt{2}+1)
, BC=d(\sqrt{2}+2)
.
б) Введём прямоугольную систему координат, направив ось Ox
по лучу AB
, ось Oy
— по лучу AD
, ось Oz
— по лучу AA_{1}
. Найдём координаты нужных нам вершин параллелепипеда и векторов:
A(0;0;0),~C_{1}(d(\sqrt{2}+1);d(\sqrt{2}+2);d\sqrt{2}),~C(d(\sqrt{2}+1);d(\sqrt{2}+2);0),~D_{1}(0;d(\sqrt{2}+2);d\sqrt{2}).
\overrightarrow{CD_{1}}=(-d(\sqrt{2}+1);d(\sqrt{2}+2)-d(\sqrt{2}+2);d\sqrt{2})=(-d(\sqrt{2}+1);0;d\sqrt{2}),
\overrightarrow{AC_{1}}=(d(\sqrt{2}+1);d(\sqrt{2}+2);d\sqrt{2}).
Пусть \varphi
— угол между прямыми CD_{1}
и AC_{1}
. Тогда
\cos\varphi=\left|\frac{\overrightarrow{CD_{1}}\cdot\overrightarrow{AC_{1}}}{|\overrightarrow{CD_{1}}|\cdot|\overrightarrow{AC_{1}}|}\right|=\left|\frac{-d^{2}(\sqrt{2}+1)^{2}+0\cdot d(\sqrt{2}+2)+2d^{2}}{\sqrt{d^{2}(\sqrt{2}+1)^{2}+0^{2}+2d^{2}}\cdot\sqrt{d^{2}(\sqrt{2}+1)^{2}+d^{2}(\sqrt{2}+2)^{2}+2d^{2}}}\right|=
=\left|\frac{-(\sqrt{2}+1)^{2}+2}{\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}+2}\cdot\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}+(\sqrt{2}+2)^{2}+2}}\right|=\frac{1+2\sqrt{2}}{\sqrt{5+2\sqrt{2}}\cdot\sqrt{11+6\sqrt{2}}}=\frac{1+2\sqrt{2}}{\sqrt{79+52\sqrt{2}}}.
в) Поскольку сферы вписаны в трёхгранные углы с вершинами A
и C_{1}
параллелепипеда, их центры соответственно O
и Q
имеют координаты O(R;R;R)
и Q(AB-R;BC-R;AA_{1}-R)
. Линия центров касающихся сфер проходит через их точку касания P
, поэтому OQ=OP+QP=2R
, или
\sqrt{(AB-R-R)^{2}+(BC-R-R)^{2}+(AA_{1}-R-R)^{2}}=2R.
Подставляя в это равенство BC=d(\sqrt{2}+2)
, AB=d(\sqrt{2}+1)
, AA_{1}=d\sqrt{2}
, получим уравнение
\sqrt{(d\sqrt{2}+d-2R)^{2}+(d\sqrt{2}+2d-2R)^{2}+(d\sqrt{2}-2R)^{2}}=2R~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~8R^{2}-2(6\sqrt{2}+6)R+(11+6\sqrt{2})d^{2}=0~\Leftrightarrow~R=\frac{d}{4}\left(3+3\sqrt{2}\pm\sqrt{5+6\sqrt{2}}\right).
Центры сфер лежат внутри параллелепипеда, поэтому R\leqslant d\sqrt{2}
. Следовательно,
R=\frac{d}{4}\left(3+3\sqrt{2}-\sqrt{5+6\sqrt{2}}\right).
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2007, билет 1, № 6