8949. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
четыре числа — длины рёбер и диагонали AC_{1}
— образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d
, причём AD\lt AB\lt AA_{1}
. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R
расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB_{1}A_{1}
, ADD_{1}A_{1}
, ABCD
, а вторая — граней BCC_{1}B_{1}
, CDD_{1}C_{1}
, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD_{1}
и AC_{1}
; в) радиус R
.
Ответ. а) AD=d\sqrt{2}
, AB=d(\sqrt{2}+1)
, AA_{1}=d(\sqrt{2}+2)
;
б) \arccos\frac{3+2\sqrt{2}}{\sqrt{171+120\sqrt{2}}}
;
в) R=d\left(\frac{3+3\sqrt{2}-\sqrt{5+6\sqrt{2}}}{4}\right)
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2007, билет 3, № 6