8953. Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
расположены два шара \omega_{1}
и \omega_{2}
, касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар \omega_{1}
касается граней ABCD
, CDD_{1}C_{1}
, BCC_{1}B_{1}
, а шар \omega_{2}
касается граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, ADD_{1}A_{1}
, ABB_{1}A_{1}
. Известно, что C_{1}D_{1}=20-\sqrt{11}
, AD=20
, BB_{1}=20+\sqrt{11}
. Найдите расстояние между центрами шаров \omega_{1}
и \omega_{2}
. Найдите наименьший и наибольший суммарный объём шаров.
Ответ. d=13
, V_{\max}=\left(\frac{4537}{3}-182\sqrt{11}\right)\pi
, V_{\min}=\frac{2197}{3}\pi
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2007, билет 7, № 6