8956. В пирамиде ABCD
грани ABC
и ADC
являются равнобедренными треугольниками с общим основанием AC
. Сфера радиуса R
с центром в точке O
, лежащей на грани ABC
, касается всех рёбер пирамиды ABCD
. Найдите длины отрезков, на которые точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды ABCD
, если угол CAB
равен \beta
. Найдите значение угла CAB
, при котором объём пирамиды будет наименьшим. Найдите это наименьшее значение объёма пирамиды ABCD
.
Ответ. a=R\tg\beta
, b=R\ctg\frac{\beta}{2}
, c=\frac{R\sin\beta}{2-\cos\beta}
, V=\frac{2R^{3}(1+\cos\beta)^{2}}{3(2-\cos\beta)\cos\beta}
, \min\angle CAB=\frac{\pi}{3}
, V_{\min}=2R^{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2007, билет 10, № 6