8957. В пирамиде ABCD
грани ABC
и ADC
являются равнобедренными треугольниками с общим основанием AC
. Сфера радиуса R
с центром в точке O
, лежащей на грани ABC
, касается всех рёбер пирамиды ABCD
. Найдите длины отрезков, на которые точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды ABCD
, если угол OBD
равен \alpha
. Найдите значение угла OBD
, при котором объём пирамиды будет наименьшим. Найдите это наименьшее значение объёма пирамиды ABCD
.
Ответ. a=R\ctg\alpha
, b=\frac{R\cos\alpha}{1-\sin\alpha}
, c=\frac{R\cos\alpha}{2-\sin\alpha}
, V=\frac{2R^{3}(1+\sin\alpha)^{2}}{3(2-\sin\alpha)\sin\alpha}
, \min\angle OBD=\frac{\pi}{6}
, V_{\min}=2R^{3}
.