8958. В пирамиде ABCD
грани ABC
и ADC
являются равнобедренными треугольниками с общим основанием AC
. Сфера радиуса R
с центром в точке O
, лежащей на грани ABC
, касается всех рёбер пирамиды ABCD
. Найдите длины отрезков, на которые точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды ABCD
, если угол OCD
равен \beta
. Найдите значение угла OCD
, при котором объём пирамиды будет наименьшим. Найдите это наименьшее значение объёма пирамиды ABCD
.
Ответ. a=R\tg2\beta
, b=R\ctg\beta
, c=\frac{R\sin2\beta}{2-\cos2\beta}
, V=\frac{2R^{3}(1+\cos2\beta)^{2}}{3(2-\cos2\beta)\cos2\beta}
, \min\angle OCD=\frac{\pi}{6}
, V_{\min}=2R^{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2007, билет 12, № 6