8959. Докажите, что если x_{1}
, x_{2}
, x_{3}
, x_{4}
— расстояния от произвольной точки внутри тетраэдра до его граней, а h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{3}
— соответствующие высоты тетраэдра, то
\frac{x_{1}}{h_{1}}+\frac{x_{2}}{h_{2}}+\frac{x_{3}}{h_{3}}+\frac{x_{4}}{h_{4}}=1.
Решение. Пусть M
— точка внутри тетраэдра ABCD
, x_{1}
— расстояние от этой точки до грани ABC
, h_{1}
— высота тетраэдра, опущенная из вершины D
, V
— объём тетраэдра ABCD
, V_{1}
— объём тетраэдра ABCM
. Тогда h_{1}
— высота тетраэдра ABCM
, опущенная из вершины M
, поэтому
\frac{V_{1}}{V}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot x_{1}}{\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot h_{1}}=\frac{x_{1}}{h_{1}}.
Аналогично,
\frac{V_{2}}{V}=\frac{x_{2}}{h_{2}},~\frac{V_{3}}{V}=\frac{x_{3}}{h_{3}},~\frac{V_{4}}{V}=\frac{x_{4}}{h_{4}},
где V_{2}
, V_{3}
, V_{4}
— объёмы тетраэдров ABDM
, ACDM
и BCDM
. Следовательно,
\frac{x_{1}}{h_{1}}+\frac{x_{2}}{h_{2}}+\frac{x_{3}}{h_{3}}+\frac{x_{4}}{h_{4}}=\frac{V_{1}}{V}+\frac{V_{2}}{V}+\frac{V_{3}}{V}+\frac{V_{4}}{V}=\frac{V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}}{V}=\frac{V}{V}=1.