8960. На грани ABC
тетраэдра ABCD
взята точка O
и через неё проведены отрезки OA_{1}
, OB_{1}
и OC_{1}
, параллельные рёбрам DA
, DB
и DC
, до пересечения с гранями тетраэдра. Докажите, что
\frac{OA_{1}}{DA}+\frac{OB_{1}}{DB}+\frac{OC_{1}}{DC}=1.
Решение. Пусть x
и h
— высоты тетраэдров OBCD
и ABCD
, опущенные из вершин O
и A
соответственно. Тогда \frac{x}{h}=\frac{OA_{1}}{DA}
, так как наклонные OA_{1}
и AD
к плоскости грани BCD
параллельны. Тогда
\frac{V_{OBCD}}{V_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot x}{\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot h}=\frac{x}{h}=\frac{OA_{1}}{DA}.
Аналогично,
\frac{V_{OACD}}{V_{ABCD}}=\frac{OB_{1}}{DB},~\frac{V_{OABD}}{V_{ABCD}}=\frac{OC_{1}}{DC}.
Следовательно,
\frac{OA_{1}}{DA}+\frac{OB_{1}}{DB}+\frac{OC_{1}}{DC}=\frac{V_{OBCD}}{V_{ABCD}}+\frac{V_{OACD}}{V_{ABCD}}+\frac{V_{OABD}}{V_{ABCD}}=
=\frac{V_{OBCD}+V_{OACD}+V_{OABD}}{V_{ABCD}}=\frac{V_{ABCD}}{V_{ABCD}}=1.