8965. Найдите объём общей части двух бесконечных прямых круговых цилиндров радиуса a
, оси которых пересекаются под прямым углом.
Ответ. \frac{16}{3}a^{3}
.
Решение. Проекция пересечения P
цилиндров на плоскость, перпендикулярную оси одного из цилиндров, есть круг радиуса a
. При этом ABCD
— квадрат со стороной 2a
(рис. 1). Если «вкатить» шар S
радиуса a
в каждый из цилиндров, то он будет вписан в тело P
. Сечение этого тела плоскостью, параллельной ABCD
, есть квадрат, а сечение этой же плоскостью шара S
— круг, вписанный в этот квадрат.
Если сторона квадрата равна b
, то радиус вписанного в него круга равен \frac{b}{2}
(рис. 2), поэтому отношение площадей квадрата и круга равно \frac{b^{2}}{\pi\left(\frac{b}{2}\right)^{2}}=\frac{4}{\pi}
.
Из принципа Кавальери следует, что объём V
тела P
в \frac{4}{\pi}
раз больше объёма шара S
, т. е.
V=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}=\frac{16}{3}a^{3}.
Источник: Тригг Ч. Задачи с изюминкой. — М.: Мир, 1975. — № 15, с. 15
Источник: Хонсбергер Р. Математические изюминки. — М.: Наука, 1992. — задача 25, с. 39