8966. Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин противоположных рёбер одна и та же для любой пары таких рёбер, то вершины этой пирамиды являются центрами четырёх шаров, попарно касающихся друг друга.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Тогда AB_{1}=AC_{1}
, BA_{1}=BC_{1}
и CA_{1}=CB_{1}
. Следовательно, шары с центрами A
, B
и C
и радиусами соответственно AB_{1}=a
, BA_{1}=b
и CB_{1}=c
попарно касаются друг друга.
Обозначим AB+CD=BC+AD=AC+BD=h
. Пусть A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— точки на рёбрах DA
, DB
и DC
соответственно, причём AA_{2}=AB_{1}=a
, BB_{2}=BA_{1}=b
, CC_{2}=CB_{1}=c
. Тогда
DA_{2}=BC+AD-AA_{2}=h-(b+c)-a=h-a-b-c,
DB_{2}=AC+BD-BB_{2}=h-(a+c)-b=h-a-b-c,
DC_{2}=AB+CD-CC_{2}=h-(a+b)-c=h-a-b-c,
поэтому шар с центром в вершине D
и радиусом h-a-b-c
касается трёх остальных шаров. Следовательно, все четыре шара попарно касаются друг друга.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1957, билет 6, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 57-6-3, с. 58