8967. Какому соотношению должны удовлетворять радиусы трёх шаров, попарно касающихся друг друга, для того, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость.
Ответ. Если r_{3}\leqslant r_{2}\leqslant r_{1}
, то r_{3}\geqslant\frac{r_{1}r_{2}}{(\sqrt{r_{1}}+\sqrt{r_{2}})^{2}}
.
Решение. Пусть r_{1}\geqslant r_{2}
— радиусы шаров с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. Рассмотрим произвольную плоскость, касающуюся обоих шаров в точках соответственно A
и B
. Через параллельные прямые O_{1}A
и O_{2}B
проведём плоскость. В сечении этой плоскостью получим касающиеся круги S_{1}
и S_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
радиусов O_{1}A=r_{1}
и O_{2}B=r_{2}
, касающиеся прямой AB
в точках A
и B
. Радиус r_{3}
меньшего шара, касающегося первых двух, должен быть не меньше радиуса r
круга, касающегося кругов S_{1}
и S_{2}
и отрезка AB
в некоторой точке C
. Тогда AC+BC=AB
, или
2\sqrt{rr_{1}}+2\sqrt{rr_{2}}=2\sqrt{r_{1}r_{2}}
(см. задачу 365), откуда r=\frac{r_{1}r_{2}}{(\sqrt{r_{1}}+\sqrt{r_{2}})^{2}}
. Ясно, что для любого шара радиуса r_{3}\geqslant r
, касающегося первых двух шаров, существует общая касательная плоскость всех трёх шаров.