8968. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна стороне основания. Внутри пирамиды расположены два шара: шар радиуса r
касается всех боковых граней; шар радиуса 2r
касается основания и двух смежных боковых граней; оба шара касаются друг друга внешним образом. Найдите апофему этой пирамиды.
Ответ. \frac{2}{5}(8\sqrt{3}+\sqrt{37})r
.
Решение. Пусть сторона основания ABCD
и апофема правильной пирамиды SABCD
равны a
, SH
— высота пирамиды, O
— центр шара радиуса r
, вписанного в четырёхгранный угол с вершиной S
пирамиды, Q
— центр шара радиуса 2r
, вписанного в трёхгранный угол с вершиной A
, \beta
— угол боковой грани пирамиды с плоскостью основания, M
— середина BC
.
Из прямоугольного треугольника SMH
находим, что
\cos\beta=\frac{MH}{MS}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2},~\beta=60^{\circ},~SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Точка P
касания второго шара с плоскостью ABCD
лежит на диагонали AC
квадрата ABCD
. Пусть N
— основание перпендикуляра, опущенного из точки P
на AB
. По теореме о трёх перпендикулярах QN\perp AB
, поэтому PNQ
— линейный угол двугранного угла между плоскостью основания пирамиды и биссекторной плоскостью двугранного угла пирамиды при ребре AB
. Значит, \angle PNQ=30^{\circ}
Тогда
PN=QP\ctg\angle PNQ=2r\ctg30^{\circ}=2r\sqrt{3},~AP=\frac{PN}{\sin\angle PAN}=\frac{2r\sqrt{3}}{\sin45^{\circ}}=2r\sqrt{6},
PH=|AH-AP|=\left|\frac{a\sqrt{2}}{2}-2r\sqrt{6}\right|.
Пусть F
— точка касания первого шара с плоскостью боковой грани BSC
. Тогда F
лежит на апофеме SM
пирамиды. Из прямоугольного треугольника OFS
находим, что SO=2OF=2r
.
Прямые QP
и SH
параллельны, поскольку они перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Рассмотрим прямоугольную трапецию OHPQ
. Опустим перпендикуляр QL
из точки Q
на QH
. Тогда
LH=QP=2r,~OL=SH-SO-LH=\frac{a\sqrt{3}}{2}-2r-2r=\frac{a\sqrt{3}}{2}-4r,
OQ=r+2r=3r,~PH=\left|\frac{a\sqrt{2}}{2}-2r\sqrt{6}\right|.
По теореме Пифагора
OQ^{2}=QL^{2}+OL^{2},~9r^{2}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-2r\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}-4r\right)^{2}.
Из полученного уравнения находим, что a=\frac{2}{5}(8\sqrt{3}\pm\sqrt{37})r
. Заметим, что если a=\frac{2}{5}(8\sqrt{3}-\sqrt{37})r
, то
AC=a\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{5}(8\sqrt{3}-\sqrt{37})r\lt2r\sqrt{6}=AP,
значит, корень a=\frac{2}{5}(8\sqrt{3}-\sqrt{37})r
не удовлетворяет условию задачи, так как по условию оба шара лежат внутри пирамиды. Следовательно, a=\frac{2}{5}(8\sqrt{3}+\sqrt{37})r
.