8976. Ребро правильного тетраэдра ABCD
равно a
. На ребре BD
расположена точка M
так, что 3DM=a
. Прямой круговой конус расположен так, что его вершина находится на середине ребра AC
, а окружность основания проходит через точку M
и пересекает рёбра AB
и BC
. Найдите радиус основания этого конуса.
Ответ. \frac{13a}{6\sqrt{51}}
.
Решение. Пусть DH
— высота тетраэдра ABCD
, S
— вершина конуса, K
и N
— точки пересечения окружности основания конуса с рёбрами AB
и BC
соответственно (рис. 1). Тогда SM
, SK
и SN
— образующие конуса.
Обозначим \angle DBH=\alpha
. Из прямоугольного треугольника BHD
находим, что
\cos\alpha=\frac{BH}{BD}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
По теореме косинусов
SM=\sqrt{BM^{2}+BS^{2}-2BM\cdot BS\cos\alpha}=\sqrt{\frac{4}{9}a^{2}+\frac{3}{4}a^{2}-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{a\sqrt{19}}{6}.
Окружность с центром S
и радиусом \frac{a\sqrt{19}}{6}\gt\frac{a}{2}
(рис. 2) пересекает каждый из отрезков AB
и BC
ровно в одной точке, значит, AK=CN
, KN\parallel AC
.
Обозначим AK=x
. По теореме косинусов
SK^{2}=AK^{2}+AS^{2}-2AK\cdot AS\cos60^{\circ},~\frac{19}{36}a^{2}=x^{2}+\frac{a^{2}}{4}-\frac{1}{2}ax,~18x^{2}-9ax-5a^{2}=0.
Из полученного уравнения находим, что x=\frac{5}{6}a
. Тогда BN=BK=a-\frac{5}{6}a=\frac{1}{6}a
.
По теореме косинусов
KM=\sqrt{BM^{2}+BK^{2}-2BM\cdot BK\cos60^{\circ}}=\sqrt{\frac{4}{9}a^{2}+\frac{1}{36}a^{2}-\frac{2}{3}a^{2}\cdot\frac{1}{6}}=\frac{a\sqrt{13}}{6}.
Пусть R
— радиус основания конуса. Тогда R
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника KMN
со сторонами KM=MN=\frac{a\sqrt{13}}{6}
, KN=\frac{1}{6}a
. Обозначим \angle MKN=\beta
. Тогда
\cos\beta=\frac{\frac{1}{2}KN}{KM}=\frac{\frac{1}{12}a}{\frac{a\sqrt{13}}{6}}=\frac{1}{\sqrt{13}},~\sin\beta=\frac{\sqrt{51}}{2\sqrt{13}}.
Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{MN}{2\sin\beta}=\frac{\frac{a\sqrt{13}}{6}}{\frac{\sqrt{51}}{\sqrt{13}}}=\frac{13a}{6\sqrt{51}}.