8986. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
с вершиной S
сторона основания пирамиды равна b
, а высота пирамиды равна b\sqrt{2}
. Шар, вписанный в эту пирамиду, касается боковой грани SAD
в точке K
. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро AB
и точку K
.
Ответ. \frac{3\sqrt{17}}{16}b^{2}
.
Решение. Пусть SH
— высота данной пирамиды, SM
— апофема, лежащая в грани ASD
. Тогда точка K
касания шара с плоскостью этой грани лежит на отрезке SM
, MK=MH=\frac{b}{2}
как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки. Из прямоугольного треугольника SMH
находим, что
SM=\sqrt{MH^{2}+SH^{2}}=\sqrt{\frac{b^{2}}{4}+2b^{2}}=\frac{3}{2}b.
Тогда
SK=SM-MK=\frac{3}{2}b-\frac{b}{2}=b,~\frac{SK}{MK}=2,
значит, K
— точка пересечения медиан треугольника ASD
и прямая AK
пересекает ребро SD
в его середине P
.
Секущая плоскость проходит через прямую AB
, параллельную плоскости CSD
, и пересекает эту плоскость по прямой PQ
(точка Q
на ребре SC
), поэтому сечение APQB
— трапеция с основаниями AB=b
и PQ=\frac{b}{2}
.
Пусть T
— ортогональная проекция точки P
на плоскость основания пирамиды, а PN
— высота трапеции APQB
. Тогда точка T
лежит на диагонали BD
квадрата ABCD
, T
— середина DH
, а TN\perp AD
по теореме о трёх перпендикулярах, причём TN=\frac{3}{4}AD=\frac{3}{4}b
и PT=\frac{1}{2}SH=\frac{b\sqrt{2}}{2}
.
Из прямоугольного треугольника PTN
находим, что
PN=\sqrt{PT^{2}+TN^{2}}=\sqrt{\left(\frac{b\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{4}b\right)^{2}}=\frac{b\sqrt{17}}{4}.
Следовательно,
S_{APQB}=\frac{1}{2}(AB+PQ)\cdot PN=\frac{1}{2}\left(b+\frac{b}{2}\right)\cdot\frac{b\sqrt{17}}{4}=\frac{3b^{2}\sqrt{17}}{16}.