8987. Ребро правильного тетраэдра ABCD
равно a
. На рёбрах AB
и CD
взяты точки E
и F
так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E
и F
, в точках M
и N
. Найдите длину отрезка EF
, если ME:EF:FN=3:12:4
.
Ответ. \frac{2a}{\sqrt{7}}
.
Решение. Положим ME=3t
, EF=12t
, FN=4t
. Пусть P
и Q
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер правильного тетраэдра, перпендикулярен этим рёбрам, его длина равна \frac{a}{\sqrt{2}}
, где a
— длина ребра тетраэдра.
Обозначим PE=x
, FQ=y
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд шара AE\cdot EB=ME\cdot EN
, CF\cdot FD=NF\cdot FM
, или
\left(\frac{a}{2}-x\right)\left(\frac{a}{2}+x\right)=3t\cdot16t,~\left(\frac{a}{2}-y\right)\left(\frac{a}{2}+y\right)=4t\cdot15t.
\frac{a^{2}}{4}-x^{2}=48t^{2},~\frac{a^{2}}{4}-y^{2}=60t^{2},
откуда x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{2}-108t^{2}
.
Из прямоугольных треугольников EPQ
и FQP
находим, что
144t^{2}=EF^{2}=EP^{2}+PF^{2}=EP^{2}+(PQ^{2}+QF^{2})=x^{2}+\frac{a^{2}}{2}+y^{2}.
Тогда 144t^{2}=\frac{a^{2}}{2}-108t^{2}+\frac{a^{2}}{2}
, откуда t^{2}=\frac{a^{2}}{252}
, t=\frac{a}{6\sqrt{7}}
. Следовательно, EF=12t=\frac{2a}{\sqrt{7}}
.