8991. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на диагонали AC
грани ABCD
взята точка M
, а на диагонали BD_{1}
куба взята точка N
так, что \angle NMC=60^{\circ}
, \angle MNB=45^{\circ}
. В каком отношении точки M
и N
делят отрезки AC
и BD_{1}
?
Ответ. 2:1
, (\sqrt{3}-1):(\sqrt{3}+1)
.
Решение. Пусть P
— проекция точки N
на плоскость ABCD
, O
— центр квадрата ABCD
. Можно считать, что ребро куба равно 1. Обозначим \frac{AM}{AC}=x
, \frac{BN}{BD_{1}}=y
. Тогда
NP=y,~BP=y\sqrt{2},~OP=|BP-BO|=\left|y\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|=\sqrt{2}\left|y-\frac{1}{2}\right|,
AM=x\sqrt{2},~MO=|AO-AM|=\left|\frac{\sqrt{2}}{2}-x\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}\left|\frac{1}{2}-x\right|.
Рассмотрим сечение куба плоскостью AB_{1}C
— равносторонний треугольник AB_{1}C
со стороной AB=\sqrt{2}
. Известно, что диагональ BD_{1}
куба перпендикулярна этой плоскости, проходит через центр Q
треугольника AB_{1}C
и делится этой плоскостью в отношении 1:2
, считая от вершины B
. Поэтому
BQ=\frac{1}{3}BD_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3},~NQ=|BN-BQ|=\left|y\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right|=\sqrt{3}\left|y-\frac{1}{3}\right|,
OQ=\frac{AC\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
По условию задачи \angle MNQ=45^{\circ}
и \angle NMO=60^{\circ}
. Из прямоугольных треугольников MQN
, MOQ
, MON
и NPO
находим, что
NQ=MQ=\sqrt{OQ^{2}+OM^{2}}=\sqrt{\frac{1}{6}+2\left(\frac{1}{2}-x\right)^{2}},
NO=OM\tg60^{\circ}=OM\sqrt{3}=\sqrt{6}\left|\frac{1}{2}-x\right|,
NO=\sqrt{NP^{2}+OP^{2}}=\sqrt{y^{2}+2\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}},
а так как NQ=\sqrt{3}\left|y-\frac{1}{3}\right|
, то получим систему уравнений
\syst{\sqrt{\frac{1}{6}+2\left(\frac{1}{2}-x\right)^{2}}=\sqrt{3}\left|y-\frac{1}{3}\right|\\\sqrt{y^{2}+2\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6}\left|\frac{1}{2}-x\right|\\}~\Rightarrow~\syst{\frac{1}{6}+2\left(\frac{1}{2}-x\right)^{2}=3\left|y-\frac{1}{3}\right|^{2}\\y^{2}+2\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=6\left(\frac{1}{2}-x\right)^{2}\\}
Умножив на 3 обе части первого уравнения и сложив после этого почленно первое и второе уравнения, получим уравнение 6y^{2}-4y=0
, откуда y=\frac{2}{3}
. Затем, считая, что точка M
лежит на отрезке AO
, находим, что x=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}
. Следовательно, BN:ND_{1}=2:1
и AM:MC=(\sqrt{3}-1):(\sqrt{3}+1)
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1972, билет 2, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 72-2-5, с. 153