9003. Точки A
, B
, C
, D
, E
и F
— вершины нижнего основания правильной шестиугольной призмы, точки M
, N
, P
, Q
, R
и S
— середины сторон верхнего основания, точки O
и O_{1}
— соответственно центры нижнего и верхнего оснований. Найдите объём общей части пирамид O_{1}ABCDEF
и OMNPQRS
, если объём призмы равен V
.
Ответ. \frac{V}{14}
.
Решение. Пусть точка P
лежит на ребре C_{1}D_{1}
призмы, T
— середина ребра CD
. Тогда O_{1}P=OT
. Если диагонали O_{1}T
и OP
прямоугольника OO_{1}PT
пересекаются в точке G
, то G
— середина апофемы O_{1}T
правильной пирамиды O_{1}ABCDEF
. Следовательно, боковое ребро OP
правильной пирамиды OMNPQRS
пересекает боковую грань CO_{1}D
правильной пирамиды O_{1}ABCDEF
в середине апофемы, лежащей в этой грани. Аналогично для остальных боковых рёбер пирамиды OMNPQRS
.
Пусть точка N
лежит на ребре B_{1}C_{1}
призмы, H
— точка пересечения отрезка O_{1}C_{1}
со стороной NP
основания пирамиды OMNPQRS
. Тогда H
— середина NP
и O_{1}H=\frac{3}{4}O_{1}C_{1}=\frac{3}{4}OC
. Рассмотрим плоскость прямоугольника OO_{1}C_{1}C
. Если отрезки OH
и O_{1}C
пересекаются в точке X
, то треугольники HXO_{1}
и OXC
подобны с коэффициентом \frac{O_{1}H}{OC}=\frac{3}{4}
, значит, боковое ребро O_{1}C
правильной пирамиды O_{1}ABCDEF
пересекает боковую грань ONP
правильной пирамиды OMNPQRS
в точке, лежащей на её апофеме, и делится этой точкой в отношении 3:4
, считая от вершины O_{1}
. Аналогично для остальных боковых рёбер пирамиды O_{1}ABCDEF
.
Пусть Y
— точка пересечения бокового ребра O_{1}D
пирамиды O_{1}ABCDEF
с лежащей в грани OPQ
апофемой пирамиды OMNPQRS
. Рассмотрим четырёхугольную пирамиду OO_{1}XGY
с вершиной O
. Её высота — перпендикуляр OZ
, опущенный из точки O
на плоскость CO_{1}D
, т. е. высота треугольной пирамиды OO_{1}CD
.
Обозначим OZ=h
, S_{\triangle CO_{1}D}=s
. Тогда V_{OO_{1}CD}=\frac{1}{3}sh
. С другой стороны,
V_{OO_{1}CD}=\frac{1}{6}V_{O_{1}ABCDEF}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{18}V,
а так как
S_{O_{1}XGY}=2S_{\triangle O_{1}GX}=2\cdot\frac{O_{1}X}{O_{1}C}\cdot\frac{O_{1}G}{O_{1}T}\cdot S_{\triangle O_{1}CT}=2\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{2}=\frac{3}{14}s.
Тогда
V_{OO_{1}XGY}=\frac{1}{3}S_{O_{1}XGY}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{14}sh=\frac{3}{14}V_{OO_{1}CD}=\frac{3}{14}\cdot\frac{1}{18}V=\frac{1}{14\cdot6}V.
Общую часть пирамид O_{1}ABCDEF
и OMNPQRS
можно представить в виде объединения шести четырёхугольных пирамид, равных пирамиде OO_{1}XGY
, следовательно, объём общей части равен 6\cdot\frac{1}{14\cdot6}V=\frac{1}{14}V
.