9006. На боковых рёбрах AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
расположены соответственно точки M
, N
и P
так, что AM:AA_{1}=B_{1}N:BB_{1}=C_{1}P:CC_{1}=3:4
. На отрезках CM
и A_{1}N
расположены соответственно точки E
и F
так, что EF\parallel B_{1}P
. Найдите отношение EF:B_{1}P
.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Решение. Заметим, что можно провести не более одной прямой, параллельной прямой B_{1}P
и пересекающей скрещивающиеся прямые CM
и A_{1}N
. Действительно, если отличные от точек E
и F
точки E_{1}
и F_{1}
, лежащие на прямых соответственно CM
и A_{1}N
, таковы, что E_{1}F_{1}\parallel B_{1}P
, то прямые EF
и E_{1}F_{1}
параллельны, а значит, они лежат в одной плоскости. Тогда и прямые CM
и A_{1}N
лежат в этой же плоскости, что невозможно, так как они скрещивающиеся.
Пусть E
и F
— точки на отрезках соответственно CM
и A_{1}N
, причём EF\parallel B_{1}P
. Пусть плоскость, проходящая через параллельные прямые EF
и B_{1}P
, пересекает прямую AA_{1}
в точке K
. Обозначим A_{1}K=x
, AA_{1}=t
. Треугольник KME
подобен треугольнику PCE
, треугольник A_{1}KF
— треугольнику NB_{1}F
, а треугольник EKF
— треугольнику PKB_{1}
, поэтому
\frac{KE}{PE}=\frac{MK}{PC}=\frac{x-\frac{1}{4}t}{\frac{1}{4}t}=\frac{4x-t}{t},~\frac{KF}{FB_{1}}=\frac{A_{1}K}{B_{1}N}=\frac{x}{\frac{3}{4}t}=\frac{4x}{3t},~\frac{KE}{PE}=\frac{KF}{FB_{1}},
или \frac{4x-t}{t}=\frac{4x}{3t}
, откуда находим, что x=\frac{3}{8}t
. Следовательно,
\frac{EF}{PB_{1}}=\frac{KE}{KP}=\frac{4x-t}{(4x-t)+t}=\frac{4x-t}{4x}=\frac{\frac{3}{2}t-t}{\frac{3}{2}t}=\frac{1}{3}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1976, билет 5, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 76-5-4, с. 186