9013. Две сферы с центрами O_{1}
и O_{2}
пересечены плоскостью P
, перпендикулярной отрезку O_{1}O_{2}
и проходящей через его середину. Плоскость P
делит площадь поверхности первой сферы в отношении m:1
, а площадь поверхности второй сферы в отношении n:1
(m\gt1
, n\gt1
). Найдите отношение радиусов этих сфер.
Ответ. \frac{(n+1)(m-1)}{(m+1)(n-1)}
.
Решение. Пусть R_{1}
и R_{2}
— радиусы сфер с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно, M
— середина отрезка O_{1}O_{2}
, A
и B
— точки пересечения первой и второй сфер с отрезком O_{1}O_{2}
. Обозначим AM=h_{1}
, BM=h_{2}
.
Применяя формулу площади поверхности сферического сегмента, получим, что
\frac{2\pi R_{1}h_{1}}{2\pi R_{1}(2R_{1}-h_{1})}=\frac{1}{m},~\frac{2\pi R_{2}h_{2}}{2\pi R_{2}(2R_{2}-h_{2})}=\frac{1}{n},
откуда
h_{1}=\frac{2R_{1}}{m+1},~h_{2}=\frac{2R_{2}}{n+1}.
Так как O_{1}M=O_{1}A-AM=R_{1}-h_{1}
и O_{2}M=O_{2}B-BM=R_{2}-h_{2}
, а M
— середина O_{1}O_{2}
, то R_{1}-h_{1}=R_{2}-h_{2}
, или h_{1}-h_{2}=R_{1}-R_{2}
. Подставив в это равенство найденные ранее выражения для h_{1}
и h_{2}
, получим, что
\frac{2R_{1}}{m+1}-\frac{2R_{2}}{n+1}=R_{1}-R_{2}.
Разделив обе части этого равенства на R_{1}
и обозначив \frac{R_{2}}{R_{1}}=t
, получим уравнение
\frac{2}{m+1}-\frac{2t}{n+1}=1-t,
из которого находим, что \frac{R_{2}}{R_{1}}=t=\frac{(n+1)(m-1)}{(m+1)(n-1)}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1975, билет 10, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 75-10-3, с. 182