9017. Основанием пирамиды служит квадрат ABCD
со стороной 1,5, боковое ребро SC
перпендикулярно плоскости основания и равно 1,75. Точки S
, B
и D
лежат на боковой поверхности конуса с вершиной в точке A
, а точка C
— в плоскости основания этого конуса. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Ответ. \frac{30\pi}{\sqrt{22}}
.
Решение. Пусть лучи AB
, AD
и AS
пересекают окружность основания конуса в точках B_{1}
, D_{1}
и S_{1}
соответственно. Тогда отрезки AB_{1}
, AD_{1}
и AS_{1}
— образующие конуса. Плоскость основания конуса пересекается с плоскостью ABCD
по прямой B_{1}D_{1}
, а так как точка C
, лежащая в плоскости ABCD
, лежит также в плоскости основания конуса, то эта точка лежит на отрезке B_{1}D_{1}
. Кроме того, поскольку AB_{1}=AD_{1}
и AB=AD
, прямая B_{1}D_{1}
параллельна диагонали BD
квадрата ABCD
.
Противоположные стороны четырёхугольника BDCB_{1}
попарно параллельны, значит, этот четырёхугольник — параллелограмм, поэтому BB_{1}=CD=AB=\frac{3}{2}
и AB_{1}=3
. Аналогично, AD_{1}=3
. Тогда B_{1}D_{1}=3\sqrt{2}
.
Из прямоугольного треугольника BCS
находим, что
BS=\sqrt{BC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{85}}{4}.
Обозначим \angle SAB=\alpha
, \angle S_{1}B_{1}D_{1}=\angle S_{1}D_{1}B_{1}=\beta
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что треугольник ABS
— прямоугольный, \angle ABS=90^{\circ}
. Тогда
\tg\alpha=\frac{BS}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{85}}{4}}{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{85}}{6},~\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{85}{36}}}=\frac{6}{11}.
По теореме косинусов
B_{1}S_{1}=\sqrt{AB_{1}^{2}+AS_{1}^{2}-2AB_{1}\cdot AS_{1}\cos\alpha}=\sqrt{3^{2}+3^{2}-2\cdot3\cdot3\cdot\frac{6}{11}}=3\sqrt{\frac{10}{11}}.
Из прямоугольного треугольника B_{1}CS_{1}
находим, что
\cos\beta=\frac{CB_{1}}{B_{1}S_{1}}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{\frac{10}{11}}}=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}},
тогда
\sin\beta=\sqrt{1-\cos^{2}\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}\right)^{2}}=\frac{3}{2\sqrt{5}}.
Найдём радиус R
окружности, описанной около равнобедренного треугольника B_{1}S_{1}D_{1}
. Точки B_{1}
, S_{1}
и D_{1}
лежат на окружности основания конуса, поэтому R
— радиус основания конуса. По теореме синусов
R=\frac{B_{1}S_{1}}{2\sin\beta}=\frac{3\sqrt{\frac{10}{11}}}{2\cdot\frac{3}{2\sqrt{5}}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{11}}.
Пусть S_{\mbox{бок.}}
— площадь боковой поверхности конуса. Тогда
S_{\mbox{бок.}}=\pi R\cdot AB_{1}=\pi\cdot\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\cdot3=\frac{30\pi}{\sqrt{22}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1974, билет 2, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 74-2-5, с. 169