9033. Сторона основания MNP
правильной пирамиды MNPQ
равна 5. Основанием правильной пирамиды SABCD
является квадрат ABCD
. Все вершины пирамиды SABCD
расположены на рёбрах пирамиды MNPQ
, причём вершина S
лежит на ребре QM
и MS=\frac{3}{4}MQ
. Найдите объём пирамиды SABCD
.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{3}}
.
Решение. Вершина S
правильной пирамиды SABCD
лежит на ребре QM
, поэтому вершины основания ABCD
лежат на рёбрах MN
, QN
, QP
и MP
. Пусть точки A
, B
, C
и D
принадлежат соответственно этим рёбрам (рис. 1). Плоскости MNP
и QNP
проходят через параллельные прямые AD
и BC
соответственно и пересекаются по прямой NP
, значит, AD\parallel NP
и BC\parallel NP
. Аналогично, AB\parallel QM
и CD\parallel QM
. Пирамида SABCD
— правильная, поэтому ABCD
— квадрат.
Положим MQ=4x
, MS=3x
, \frac{QB}{QN}=k
. Тогда
SQ=x,~AB=BC=kNP=5k,~AB=(1-k)MQ=4(1-k)x,~AM=kMN=5k.
Из равенства 4(1-k)x=5k
находим, что x=\frac{5k}{4(1-k)}
.
Обозначим \angle QMN=\angle QNM=\alpha
. Тогда \angle MQN=180^{\circ}-2\alpha
. Из равнобедренного треугольника MQN
находим, что
\cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}MN}{MQ}=\frac{\frac{5}{2}}{4x}=\frac{5}{8x}.
Тогда
\cos\angle MQN=\cos(180^{\circ}-2\alpha)=-\cos2\alpha=1-2\cos^{2}\alpha=1-2\left(\frac{5}{8x}\right)^{2}=1-\frac{25}{32x^{2}}.
По теореме косинусов
AS^{2}=MS^{2}+AM^{2}-2MS\cdot AM\cos\alpha=9x^{2}+25k^{2}-2\cdot3x\cdot5k\cdot\frac{5}{8x}=9x^{2}+25k^{2}-\frac{75}{4}k,
BS^{2}=QS^{2}+QB^{2}-2QS\cdot QB\cos(180^{\circ}-2\alpha)=x^{2}+16k^{2}x^{2}-2x\cdot4kx\cdot\left(1-\frac{25}{32x^{2}}\right)=
=x^{2}+165k^{2}x^{2}-8kx^{2}+\frac{25}{4}k,
а так как AS=BS
, то
9x^{2}+25k^{2}-\frac{75}{4}k=x^{2}+165k^{2}x^{2}-8kx^{2}+\frac{25}{4}k~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~8x^{2}+25k^{2}-16k^{2}x^{2}+8kx^{2}-25k=0.
Подставив x=\frac{5k}{4(1-k)}
в последнее уравнения, после очевидных преобразований получим уравнение (5k-2)(1-k)=0
, а так как k\lt1
, то k=\frac{2}{5}
. Тогда
x=\frac{5k}{4(1-k)}=\frac{5}{6},~SB=SC=SD=SA=\sqrt{9x^{2}+25k^{2}-\frac{75}{4}k}=
=\sqrt{9\left(\frac{5k}{4(1-k)}\right)^{2}+25k^{2}-\frac{75}{4}k}=\sqrt{9\cdot\frac{25}{36}+4-\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{11}}{2},
AB=BC=CD=AD=5k=2.
Пусть SO
— высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
. Из прямоугольного треугольника AOS
находим что
SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{11}}{2}\right)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
V_{SABCD}=\frac{1}{3}AB^{2}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1973, билет 3, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 73-3-5, с. 161