9036. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
является квадрат ABCD
со стороной 4, а длина каждого бокового ребра AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
равна 6. Прямой круговой цилиндр расположен так, что его ось лежит в плоскости BB_{1}D_{1}D
, а точки A_{1}
, C_{1}
, B_{1}
и центр O
квадрата ABCD
лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус цилиндра (найдите все решения).
Ответ. \frac{5}{\sqrt{3}}
, 4\sqrt{\frac{2}{3}}
, \frac{20}{3}\sqrt{\frac{2}{11}}
.
Решение. 1. Предположим, что ось l
цилиндра пересекает прямую OB_{1}
в некоторой точке K
(рис. 1), а прямую BB_{1}
— в точке F
. Пусть A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
и O_{2}
— проекции точек соответственно A
, B
, C
и O
на прямую l
. Тогда точка A_{2}
совпадает с точкой C_{2}
, а так как точки O
и B_{1}
равноудалены от оси цилиндра, то B_{1}B_{2}=OO_{2}=R
(где R
— искомый радиус цилиндра), значит, точка K
— середина отрезка OB_{1}
.
Через точку K
проведём прямую, параллельную BD
. Пусть эта прямая пересекает рёбра BB_{1}
и DD_{1}
в точках N
и M
соответственно. Тогда N
и M
— середины этих рёбер. Обозначим \angle FKN=\alpha
, \angle B_{1}KN=\beta
. Будем считать, что \alpha\lt90^{\circ}
и \beta\lt90^{\circ}
.
Отрезок KN
— средняя линия треугольника OBB_{1}
, поэтому
KN=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}\cdot4\sqrt{2}=\sqrt{2}.
Из прямоугольных треугольников KB_{1}N
и KB_{1}B_{2}
находим, что
KB_{1}=\sqrt{B_{1}N^{2}+KN^{2}}=\sqrt{9+2}=\sqrt{11},~\cos\beta=\frac{KN}{KB_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}},~\sin\beta=\frac{B_{1}N}{KB_{1}}=\frac{3}{\sqrt{11}},
R=C_{1}C_{2}=B_{1}B_{2}=KB_{1}\sin(\alpha+\beta)=\sqrt{11}\sin(\alpha+\beta)=\sqrt{11}(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)=
=\sqrt{11}\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\sin\alpha+\frac{3}{\sqrt{11}}\cos\alpha\right)=\sqrt{2}\sin\alpha+3\cos\alpha.
Пусть O_{1}
— центр квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, E
— проекция точки O_{1}
на прямую B_{1}B_{2}
. Прямая A_{1}O_{1}
перпендикулярна плоскости BB_{1}D_{1}D
, а наклонная A_{1}C_{2}
перпендикулярна прямой l
, лежащей в этой плоскости, поэтому проекция O_{1}C_{2}
наклонной A_{1}C_{2}
также перпендикулярна прямой l
, значит, O_{1}C_{2}\parallel B_{1}B_{2}
, а так как O_{1}E\parallel l
, то \angle EO_{1}B_{1}=\angle NKB_{2}=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника EO_{1}B_{1}
находим, что
B_{1}E=O_{1}B_{1}\sin\alpha=2\sqrt{2}\sin\alpha.
Тогда
O_{1}C_{2}=EB_{2}=B_{1}B_{2}-B_{1}E=\sqrt{2}\sin\alpha+3\cos\alpha-2\sqrt{2}\sin\alpha=3\cos\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha.
Тогда
C_{1}C_{2}^{2}=O_{1}C_{2}^{2}+O_{1}C_{1}^{2},~(\sqrt{2}\sin\alpha+3\cos\alpha)^{2}=(3\cos\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha)^{2}+8,~3\sin\alpha\cos\alpha=\sqrt{2},
По предположению \alpha\lt90^{\circ}
, поэтому \sin\alpha\gt0
и \cos\alpha\gt0
. Возведём обе части полученного уравнения в квадрат:
9\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha=2,~9\sin^{2}\alpha(1-\sin^{2}\alpha)=2,~
9\sin^{4}\alpha-9\sin^{2}\alpha+2=0,~\left(\sin^{2}\alpha-\frac{2}{3}\right)\left(\sin^{2}\alpha-\frac{1}{3}\right)=0,
откуда \sin\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}
или \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}
.
В первом случае
R=\sqrt{2}\sin\alpha+3\cos\alpha=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}+3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}},
во втором —
R=\sqrt{2}\sin\alpha+3\cos\alpha=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+3\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=4\sqrt{\frac{2}{3}}.
2. Предположим, что ось l
параллельна прямой OB_{1}
(рис. 2). Тогда OB_{1}
— образующая цилиндра. Пусть A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
и O_{2}
— проекции точек соответственно A
, B
, C
и O
на прямую l
, O_{1}
— центр квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда точка A_{2}
совпадает с точкой C_{2}
, а так как точки O
и B_{1}
равноудалены от оси цилиндра, то B_{1}B_{2}=OO_{2}=R
(где R
— искомый радиус цилиндра), прямая O_{1}C_{2}
перпендикулярна оси l
цилиндра.
Если прямые O_{1}C_{2}
и OB_{1}
пересекаются в точке E
, то O_{1}E\perp OB_{1}
. Обозначим \angle OO_{1}E=\angle BOB_{1}=\beta
. Тогда
OB_{1}=\sqrt{BB_{1}^{2}+B_{1}O_{1}^{2}}=\sqrt{36+8}=2\sqrt{11},~\sin\beta=\frac{BB_{1}}{OB_{1}}=\frac{6}{2\sqrt{11}}=\frac{3}{\sqrt{11}},
O_{1}E=OO_{1}\cos\beta=6\sqrt{\frac{2}{11}},~C_{2}E=B_{1}B_{2}=R,~C_{2}O_{1}=C_{2}E-O_{1}E=R-6\sqrt{\frac{2}{11}}.
Из прямоугольного треугольника C_{1}OC_{2}
находим, что C_{1}C_{2}^{2}=O_{1}C_{2}^{2}+O_{1}C_{1}^{2}
, или
R^{2}=\left(R-6\sqrt{\frac{2}{11}}\right)^{2}+8,
откуда R=\frac{20}{3}\sqrt{\frac{2}{11}}
.