9044. Рёбра AD
и BC
пирамиды DABC
равны 24 и 10. Расстояние между серединами рёбер BD
и AC
равно 13. Найдите угол между прямыми AD
и BC
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть K
, L
и M
— середины рёбер AB
, AC
и BD
соответственно. Тогда KL
и KM
— средние линии треугольников ABC
и ABD
, поэтому KL\parallel BC
, KM\parallel AD
. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми AD
и BC
равен углу между пересекающимися прямыми KM
и KL
, т. е. углу MKL
.
В треугольнике KLM
известно, что
ML=13,~KM=\frac{1}{2}AD=12,~KL=\frac{1}{2}BC=5,
а так как KM^{2}+KL^{2}=144+25=169=ML^{2}
, то треугольник KLM
— прямоугольный с прямым углом при вершине K
. Следовательно, \angle MKL=90^{\circ}
.