9045. Основанием прямой треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
является равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=BC=20
, AC=32
. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P
принадлежит боковому ребру BB_{1}
, причём BP:PB_{1}=1:3
. Найдите тангенс угла между плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}
и ACP
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
параллельна плоскости ABC
, поэтому угол между плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}
и ACP
равен углу между плоскостями ABC
и ACP
.
Пусть M
— середина ребра AC
. Тогда BM
и PM
— медианы равнобедренных треугольников ABC
и APC
, поэтому MB\perp AC
и MP\perp AC
. Следовательно, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC
и ACP
, — это угол BMP
.
Из прямоугольного треугольника BMC
находим, что
BM=\sqrt{BC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{20^{2}-16^{2}}=\sqrt{4\cdot36}=12,
а так как BP=\frac{1}{4}BB_{1}=\frac{1}{4}\cdot24=6
, то
\tg\angle BMP=\frac{BP}{BM}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.