9046. Основание прямой треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=AC=8
, а один из углов равен 60^{\circ}
. На ребре AA_{1}
отмечена точка P
так, что AP:PA_{1}=2:1
. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC
и CBP
, если расстояние между прямыми AB
и C_{1}B_{1}
равно 18\sqrt{3}
.
Ответ. 3.
Решение. Отрезок BB_{1}
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и B_{1}C_{1}
, так как BB_{1}\perp AB
и BB_{1}\perp B_{1}C_{1}
. Поэтому боковое ребро призмы равно 18\sqrt{3}
, а AP=\frac{2}{3}AA_{1}=\frac{2}{3}\cdot18\sqrt{3}=12\sqrt{3}
.
Пусть M
— середина ребра BC
. Тогда AM
и PM
— медианы равнобедренных треугольников ABC
и PBC
, поэтому MA\perp BC
и MP\perp BC
. Следовательно, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC
и CBP
, — это угол AMP
.
Равнобедренный треугольник, один из углов которого равен 60^{\circ}
, — равносторонний, поэтому AM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}
.
Из прямоугольного треугольника AMP
находим, что
\tg\angle AMP=\frac{AP}{AM}=\frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=3.