9047. Основание прямой треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— треугольник ABC
, в котором AC=BC=6
, а один из углов равен 60^{\circ}
. На ребре CC_{1}
отмечена точка P
так, что CP:PC_{1}=2:1
. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC
и ABP
, если расстояние между прямыми AC
и A_{1}B_{1}
равно 18\sqrt{3}
.
Ответ. 4.
Решение. Отрезок AA_{1}
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC
и A_{1}B_{1}
, так как AA_{1}\perp AC
и AA_{1}\perp A_{1}B_{1}
. Поэтому боковое ребро призмы равно 18\sqrt{3}
, а CP=\frac{2}{3}CC_{1}=\frac{2}{3}\cdot18\sqrt{3}=12\sqrt{3}
.
Пусть M
— середина ребра AB
. Тогда CM
и PM
— медианы равнобедренных треугольников ABC
и PAB
, поэтому MC\perp AB
и MP\perp AB
. Следовательно, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC
и ABP
, — это угол CMP
.
Равнобедренный треугольник, один из углов которого равен 60^{\circ}
, — равносторонний, поэтому CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}
.
Из прямоугольного треугольника CMP
находим, что
\tg\angle CMP=\frac{CP}{CM}=\frac{12\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=4.