9050. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки C
до прямой A_{1}F_{1}
.
Ответ. 14.
Решение. Из равнобедренного треугольника ABC
находим, что AC=5\sqrt{3}
.
Отрезок A_{1}C_{1}
— ортогональная проекция наклонной CA_{1}
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
. Поскольку A_{1}C_{1}\perp A_{1}F_{1}
, то по теореме о трёх перпендикулярах CA_{1}\perp A_{1}F_{1}
. Следовательно, расстояние от точки C
до прямой A_{1}F_{1}
равно длине отрезка CA_{1}
.
Из прямоугольного треугольника ACA_{1}
находим, что
CA_{1}=\sqrt{AC^{2}+AA_{1}^{2}}=\sqrt{75+121}=\sqrt{196}=14.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2011, задача C2
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4.3, с. 36