9052. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Ответ. 2 или 14.
Решение. Пусть AB=12
— хорда основания с центром O
, CD=16
— хорда основания с центром O_{1}
. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью AB\parallel CD
. Опустим перпендикуляры OM
и O_{1}M_{1}
на хорды AB
и CD
соответственно. Тогда M
и M_{1}
— середины этих хорд.
Из прямоугольных треугольников AOM
и CO_{1}M_{1}
находим, что
OM=\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{100-36}=8,~O_{1}M_{1}=\sqrt{O_{1}C^{2}-CM_{1}^{2}}=\sqrt{100-64}=6.
Пусть H
— ортогональная проекция точки M_{1}
на основание с центром O
. Тогда точка H
лежит на прямой OM
— ортогональной проекции прямой MM_{1}
на плоскость основания с центром O
. По теореме о трёх перпендикулярах MM_{1}\perp AB
, значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, проходящей через параллельные хорды AB
и CD
, и плоскостью основания цилиндра, — это угол M_{1}MH
.
Если точка O
расположена между H
и M
(рис. 1), то HM=OH+OM=O_{1}M_{1}+OM=6+8=14
, а так как отрезок OO_{1}
равен образующей цилиндра, то OO_{1}=28
. Следовательно,
\tg\angle M_{1}MH=\frac{M_{1}H}{HM}=\frac{OO_{1}}{HM}=\frac{28}{14}=2.
Если же точка H
лежит между O
и M
(рис. 2), то HM=OM-OH=OM-O_{1}M_{1}=8-6=2
. Следовательно,
\tg\angle M_{1}MH=\frac{M_{1}H}{HM}=\frac{OO_{1}}{HM}=\frac{28}{2}=14.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2010, задача C2
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 9.13, с. 82