9053. Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольник ABCD
, в котором AB=12
, AD=\sqrt{31}
. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD
перпендикулярно прямой BD_{1}
, если расстояние между прямыми AC
и B_{1}D_{1}
равно 5.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно. Тогда OO_{1}\parallel BB_{1}
, а так как призма прямая, то BB_{1}
, а значит, и OO_{1}
— перпендикуляр к плоскостям оснований. Поэтому OO_{1}
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC
и B_{1}D_{1}
. Следовательно, BB_{1}=OO_{1}=5
.
Пусть \alpha
— плоскость, проходящая через середину ребра AD
перпендикулярно прямой BD_{1}
. Прямая BB_{1}
перпендикулярна плоскости ABCD
, а прямая BD_{1}
перпендикулярна плоскости \alpha
, значит, угол между этими плоскостями равен углу между прямыми BB_{1}
и BD_{1}
, т. е. углу B_{1}BD_{1}
.
Из прямоугольных треугольников A_{1}B_{1}D_{1}
и B_{1}BD_{1}
находим, что
D_{1}B_{1}=\sqrt{A_{1}D_{1}^{2}+A_{1}B_{1}^{2}}=\sqrt{31+144}=\sqrt{175},~BD_{1}=\sqrt{BB_{1}^{2}+B_{1}D_{1}^{2}}=\sqrt{25+175}=10\sqrt{2}.
Следовательно,
\cos\angle B_{1}BD_{1}=\frac{BB_{1}}{BD_{1}}=\frac{5}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.