9056. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудалённых от вершин вписанного многоугольника.
Ответ. Прямая, проходящая через центр описанной окружности многоугольника перпендикулярно его плоскости.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около многоугольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
, l
— прямая, проходящая через точку O
перпендикулярно плоскости многоугольника, M
— произвольная точка этой прямой, отличная от O
. Тогда MA_{1}
, MA_{2}
, \dots
, MA_{n}
— наклонные к плоскости многоугольника, а так как ортогональные проекции наклонных на эту плоскость равны, то равны и сами наклонные. Значит, точка M
равноудалена от вершин многоугольника. Для точки O
очевидно. Следовательно, все точки прямой l
равноудалены от вершин многоугольника.
Пусть теперь точка P
, расположенная вне плоскости вписанного многоугольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
, равноудалена от его вершин. Опустим перпендикуляр PO'
из точки P
на плоскость многоугольника. Тогда O'A_{1}=O'A_{2}=\dots=O'A_{n}
как ортогональные проекции равных наклонных, проведённых к плоскости из одной точки. Значит, точка O'
равноудалена от всех вершин многоугольника, а поэтому совпадает с точкой O
. Для точки O
очевидно. Таким образом, все точки, равноудалённые от вершин многоугольника, лежат на прямой l
.
Что и требовалось доказать.