9059. Найдите координаты проекции точки P(0;2;1)
на прямую \frac{x-4}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{3}
.
Ответ. (2;0;-1)
.
Указание. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку P
перпендикулярно данной прямой.
Решение. Вектор \overrightarrow{m}=(2;-1;3)
— направляющий вектор данной прямой. Параметрические уравнения прямой имеют вид
\syst{x=4+2t3\\y=-1-t\\z=2+3t.\\}
Через точку P(0;2;1)
проведём плоскость, перпендикулярную вектору \overrightarrow{m}
. Уравнение этой плоскости имеет вид 2x-(y-2)+3(z-1)=0
, или 2x-y+3z-1=0
.
Проекция P_{0}(x;y;z)
точки P(0;2;1)
на данную прямую — это точка пересечения проведённой плоскости с данной прямой. Координаты точки P_{0}
найдём из системы
\syst{x=4+2t3\\y=-1-t\\z=2+3t\\2x-y+3z-1=0.\\}
Получим x=2
, y=0
, z=-1
.