9063. Выведите формулу объёма шарового сегмента с помощью принципа Кавальери.
Ответ. \pi h^{2}\left(R-\frac{h}{3}\right)
.
Решение. Пусть радиус шара равен R
, а высота шарового сегмента этого шара равна h\lt R
.
Рассмотрим полушар радиуса R
и цилиндр, высота и радиус основания которого равны R
. Пусть полушар и цилиндр расположены по одну сторону от общей плоскости \alpha
их оснований. Из цилиндра удалим конус, вершина которого — центр расположенного в плоскости \alpha
основания цилиндра, а основание конуса совпадает с другим основанием цилиндра. Докажем, что полученное таким образом тело P
равновелико полушару.
На расстоянии d\lt R
от плоскости \alpha
проведём плоскость, параллельную \alpha
и пересекающую полушар и тело P
. В сечении с полушаром получим круг радиуса \sqrt{R^{2}-d^{2}}
. Его площадь равна \pi(R^{2}-d^{2})
. В сечении тела P
получим кольцо, внешний диаметр которого равен R
, а внутренний — d
. Площадь этого кольца равна \pi R^{2}-\pi d^{2}=\pi(R^{2}-d^{2})
. Значит, площади обоих сечений равны. По принципу Кавальери полушар и тело P
равновелики. Что и требовалось доказать.
На расстоянии R-h\lt R
от плоскости \alpha
проведём плоскость \beta
, параллельную \alpha
. Плоскость \beta
отсекает от полушара шаровой сегмент с высотой h
, а от тела P
— тело Q
, равновеликое шаровому сегменту и полученное из P
удалением из цилиндра высотой h
усечённого конуса, основания которого — круги радиусов R
и h
, а высота равна h
.
Пусть V
— объём тела Q
. Тогда
V=\pi R^{2}h-\left(\frac{1}{3}\pi R^{3}-\frac{1}{3}\pi(R-h)^{3}\right)=\pi R^{2}h-\frac{1}{3}\pi(R^{3}-R^{3}+3R^{2}h-3Rh^{2}+h^{3})=
=\pi R^{2}h-\frac{1}{3}\pi(3R^{2}h-3Rh^{2}+h^{3})=\frac{1}{3}\pi(3R^{2}h-3R^{2}h+3Rh^{2}-h^{3})=
=\frac{1}{3}\pi(3Rh^{2}-h^{3})=\frac{1}{3}\pi h^{2}(3R-h)=\pi h^{2}\left(R-\frac{h}{3}\right).
Если R\lt h\lt2R
, то высота дополнительного сегмента равна 2R-h
, поэтому
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}-\pi(2R-h)^{2}\left(R-\frac{2R-h}{3}\right)=\frac{1}{3}\pi(4R^{3}-(2R-h)^{2}(R+h))=
=\frac{1}{3}\pi(4R^{3}-(4R^{2}-4Rh+h^{2})(R+h))=\frac{1}{3}\pi(4R^{3}-4R^{3}+4R^{2}h-Rh^{2}-4R^{2}h+4Rh^{2}-h^{3})=
=\frac{1}{3}\pi(-Rh^{2}+4Rh^{2}-h^{3})=\frac{1}{3}\pi(3Rh^{2}-h^{3})=\pi h^{2}\left(R-\frac{h}{3}\right).