9070. На ребре AB
треугольной пирамиды ABCD
выбрана точка X
, причём AX:XB=2
. Точки K
и L
— проекции точки X
на плоскости ACD
и BCD
соответственно. Известно, что KC=2
, KD=7
, KA=11
, LC=6
, LB=6
. Найдите длину отрезка LD
, высоту пирамиды, опущенную из вершины B
, и угол между ребром AB
и плоскостью ACD
.
Ответ. 9, \frac{3\sqrt{3}}{2}
, \arcsin\frac{\sqrt{13}}{13}
.
Решение. 1) Обозначим XK=a
, XL=b
. Поскольку XK
и XL
— перпендикуляры к плоскостям соответственно ACD
и BCD
, треугольники XKC
и XLD
— прямоугольные, поэтому
XC^{2}=XK^{2}+CK^{2}=a^{2}+4,~XC^{2}=XL^{2}+CL^{2}=b^{2}+36,
XD^{2}=XK^{2}+DK^{2}=a^{2}+49,~XD^{2}=XL^{2}+DL^{2}=b^{2}+DL^{2}.
Значит, a^{2}+4=b^{2}+36
и a^{2}+49=b^{2}+DL^{2}
, или a^{2}-b^{2}=32
и a^{2}-b^{2}=DL^{2}-49
. Отсюда находим, что LD^{2}=81
. Следовательно, DL=9
.
2) Пусть BH
— высота пирамиды, проведённая из вершины B
. Обозначим BH=h
. Точка K
лежит на отрезке AH
— ортогональной проекции наклонной BA
на плоскость ACD
. Прямоугольные треугольники ABH
и AXK
подобны с коэффициентом \frac{AB}{XB}=\frac{3}{2}
, поэтому h=AH=\frac{3}{2}XK=\frac{3}{2}a
.
Из прямоугольных треугольников XKA
и XLB
получаем, что
XA^{2}=XK^{2}+KA^{2}=a^{2}+121,~\frac{1}{4}XA^{2}=XB^{2}=XL^{2}+LB^{2}=b^{2}+36,
откуда a^{2}+121=4b^{2}+144
. Поэтому a^{2}-4b^{2}=23
.
Вычитая это равенство из полученного ранее равенства a^{2}-b^{2}=32
, находим, что 3b^{2}=9
, b^{2}=3
, b=\sqrt{3}
. Следовательно, h=\frac{3}{2}b=\frac{3\sqrt{3}}{2}
.
3) Поскольку AH
— ортогональная проекция наклонной BA
на плоскость ACD
, угол ребра BA
с плоскостью ACD
— это угол BAH
. Из прямоугольного треугольника BAH
, учитывая, что XB^{2}=b^{2}+36
, находим:
\sin\angle BAH=\frac{BH}{BA}=\frac{h}{3XB}=\frac{3\sqrt{3}}{3XB}=\frac{\sqrt{3}}{XB}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+36}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}}=\frac{\sqrt{13}}{13}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2009, билет 7
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 5.227, с. 133