9074. В основании пирамиды SABCD
лежит параллелограмм ABCD
. Сфера \omega
радиуса \frac{28}{23}
с центром O
касается рёбер AS
, BS
, AD
, BC
пирамиды SABCD
соответственно в точках K
, L
, M
, N
, пересекает ребро AB
в точках P
и Q
и касается грани SCD
. Известно, что прямая SO
перпендикулярна плоскости ABCD
и пересекает её в точке H
, \frac{AB}{PQ}=\sqrt{\frac{33}{17}}
, \frac{BL}{AS}=\frac{1}{4}
. Найдите \angle SBA
, \angle SAH
, высоту пирамиды и её объём.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{33}}{16}
, \arccos\frac{7}{16}
, 3
, \frac{22\sqrt{33}}{23}
.
Решение. Сечение сферы плоскостью ASB
— окружность, касающаяся сторон SA
и SB
треугольника ASB
в точках K
и L
и пересекающая сторону AB
в точках P
и Q
. Пусть O'
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
сферы на плоскость ASB
. Тогда O'
— центр этой окружности, а SO'
— биссектриса угла ASB
.
Продолжим SO'
до пересечения со стороной AB
в точке E
. Прямая AB
перпендикулярна плоскости SHE
, так как AB\perp SH
и AB\perp OO'
. Значит, AB\perp SE
. Биссектриса SE
треугольника ASB
является его высотой, поэтому треугольник ASB
равнобедренный, E
— середина AB
.
Сечение сферы плоскостью ABCD
— окружность, касающаяся сторон AD
и BC
параллелограмма ABCD
в точках M
и N
и пересекающая сторону AB
в точках P
и Q
. Точка H
— центр этой окружности, MN
— её диаметр, а HE\perp AB
, так как радиус, проходящий через середину хорды PQ
, перпендикулярен этой хорде. Противоположные стороны AM
и BN
четырёхугольника ABMN
параллельны, а отрезок HE
соединяет середины сторон MN
и AB
, значит, HE\parallel AM
, а так как HE\perp AB
, то AM\perp AB
. Следовательно, ABCD
— прямоугольник.
1) Пусть точка P
лежит между A
и Q
. Положим BL=t
, AS=4t
, AB=x\sqrt{33}
, PQ=x\sqrt{17}
. Тогда
BN=BL=t,~SB=SA=4t,~SK=SL=SB-BL=4t-t=3t,
BE=\frac{1}{2}AB=\frac{x\sqrt{33}}{2},~BP=BE+PE=BP+\frac{1}{2}PQ=\frac{x\sqrt{33}}{2}+\frac{x\sqrt{17}}{2},
BQ=BE-QE=\frac{x\sqrt{33}}{2}-\frac{x\sqrt{17}}{2}.
По теореме о касательной и секущей BN^{2}=BP\cdot BQ
, или
t^{2}=\left(\frac{x\sqrt{33}}{2}+\frac{x\sqrt{17}}{2}\right)\left(\frac{x\sqrt{33}}{2}-\frac{x\sqrt{17}}{2}\right)=x^{2}\left(\frac{33}{4}-\frac{17}{4}\right)=4x^{2},
откуда x=\frac{1}{2}t
. Следовательно,
\cos\angle SBA=\cos\angle SBE=\frac{BE}{SB}=\frac{x\sqrt{33}}{8t}=\frac{x}{t}\cdot\frac{\sqrt{33}}{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{33}}{8}=\frac{\sqrt{33}}{16}.
2) Из прямоугольного треугольника BEH
находим, что
BH=\sqrt{BE^{2}+EH^{2}}=\sqrt{BE^{2}+BN^{2}}=\sqrt{\frac{33x^{2}}{4}+t^{2}}=\sqrt{\frac{33}{16}t^{2}+t^{2}}=\frac{7}{4}t,
поэтому AH=BH=\frac{7}{4}t
. Следовательно,
\cos\angle SAH=\angle SBH=\frac{BH}{SB}=\frac{\frac{7}{4}t}{4t}=\frac{7}{16}.
3) Пусть AH=h
, а R=\frac{28}{23}
— радиус сферы. Тогда OL=R=\frac{28}{23}
и OL\perp SB
как радиус сферы, проведённый в точку касания с прямой SB
. Обозначим \angle SBH=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{7}{16},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{207}}{16}=\frac{3\sqrt{23}}{16},~\tg\alpha=\frac{3\sqrt{23}}{7}.
Из прямоугольного треугольника OLS
находим, что
3t=SL=OL\tg\alpha=\frac{28}{23}\cdot\frac{3\sqrt{23}}{7}=\frac{4\sqrt{23}}{\cdot23}.
Тогда t=\frac{4\sqrt{23}}{23}
. Следовательно,
h=SH=BH\tg\alpha=\frac{7}{4}t\cdot\frac{3\sqrt{23}}{7}=\frac{7}{4}\cdot\frac{4\sqrt{23}}{23}\cdot\frac{3\sqrt{23}}{7}=3.
4) Продолжим отрезок HE
до пересечения с ребром CD
в точке F
и опустим перпендикуляр OG
из центра сферы на SF
. Тогда OG
— перпендикуляр к плоскости CSD
, поэтому G
— точка касания сферы с этой плоскостью. Значит, SG=SL=3t
(как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки). Прямоугольные треугольники SOG
и SOL
равны по катету и гипотенузе, значит,
\angle SFH=\angle SOG=\angle SOL=\angle SBH=\alpha,
HF=SH\ctg\alpha=3\cdot\frac{7}{3\sqrt{23}}=\frac{7}{\sqrt{23}}=\frac{7\sqrt{23}}{23}.
Тогда
AD=AM+MD=AM+HF=\frac{4\sqrt{23}}{\cdot23}+\frac{7\sqrt{23}}{23}=\frac{11\sqrt{23}}{23},
S_{ABCD}=AB\cdot AD=x\sqrt{33}\cdot\frac{11\sqrt{23}}{23}=\frac{2\sqrt{23}}{23}\cdot\sqrt{33}\cdot\frac{11\sqrt{23}}{23}=
=\frac{22\sqrt{33}}{23}.
Следовательно,
V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{22\sqrt{33}}{23}\cdot3=\frac{22\sqrt{33}}{23}.