9083. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
тетраэдра ABCD
. Оказалось, что AN=DM
и CM=BN
. Докажите, что AC=BD
.
Указание. Пусть M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
тетраэдра ABCD
. Треугольники CMD
и ANB
равны по признаку равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей (см. задачу 1028).
Решение. Из признака равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей (см. задачу 1028), следует равенство треугольников CMD
и ANB
, поэтому AB=CD
, а значит, AM=DN=CN=BM
. Треугольники AMD
и DNA
равны по трём сторонам, поэтому \angle AMD=\angle DNA
. Тогда.
\angle BMD=180^{\circ}-\angle AMD=180^{\circ}-\angle DNA=\angle ANC,
значит, треугольники BMD
и CNA
равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, BD=AC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2013, второй тур, 11 класс