9085. Основание пирамиды SABCD
— квадрат ABCD
со стороной 4\sqrt{2}
. Боковое ребро SD
перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояния между прямыми: а) AB
и SC
; б) SB
и AC
.
Ответ. а) 4\sqrt{2}
; б) \frac{12}{5}
.
Решение. а) Отрезок CD
— ортогональная проекция наклонной SC
на плоскость основания ABCD
. Поскольку CD\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах BC\perp SC
. Кроме того, BC\perp AB
, так как ABCD
— квадрат, значит, CD
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и SC
. Следовательно, расстояние между этими прямыми равно длине отрезка BC
, т. е. 4\sqrt{2}
.
б) Пусть O
— центр квадрата ABCD
, P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую SB
. Прямая AC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD
и SD
плоскости BSD
, поэтому OP\perp AC
. Значит, OP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SB
и AC
.
Из прямоугольного треугольника BSD
находим, что
SB=\sqrt{SD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10,
Пусть DQ
— высота этого треугольника. Тогда SB\cdot DQ=BD\cdot SD
(удвоенная площадь треугольника BSD
), поэтому
DQ=\frac{BD\cdot SD}{SB}=\frac{8\cdot6}{10}=\frac{24}{5},
а так как OP
— средняя линия треугольника BQD
, то
OP=\frac{1}{2}DQ=\frac{12}{5}.