9089. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120^{\circ}
. Боковые рёбра образуют с её высотой, равной 16, углы в 45^{\circ}
. Найдите площадь основания пирамиды.
Ответ. 64\sqrt{3}
.
Решение. Пусть DH
— высота пирамиды DABC
с основанием ABC
, причём \angle ABC=120^{\circ}
, \angle ADH=\angle BDH=\angle CDH=45^{\circ}
.
Прямоугольные треугольники ADH
, BDH
и CDH
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому HA=HB=HC
, а так как острые углы этих треугольников равны 45^{\circ}
, то HA=HB=HC=16
.
Равнобедренные треугольники AHC
и AHB
равны по трём сторонам, поэтому AH
— биссектриса угла, \angle CAH=\angle BAH=60^{\circ}
. Значит, эти треугольники равносторонние, AC=AB=AH=16
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot16\cdot16\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=64\sqrt{3}.