9102. В тетраэдре ABCD
известно, что AD\perp BC
. Докажите, что высоты тетраэдра, проведённые из вершин B
и C
, пересекаются, причём точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающихся прямых AD
и BC
.
Решение. Пусть BP
— высота тетраэдра ABCD
, причём точка P
отлична от C
, а плоскость \alpha
пересекающихся прямых BC
и BP
пересекает прямую AD
в точке M
. Прямая AD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и BP
плоскости \alpha
, значит, прямая AD
перпендикулярна этой плоскости.
Пусть CQ
— высота треугольника BCM
. Прямая CQ
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BM
и AD
плоскости ABD
, значит, прямая CQ
перпендикулярна этой плоскости, т. е. CQ
— высота тетраэдра. Следовательно, высоты CQ
и BP
тетраэдра пересекаются в ортоцентре H
треугольника BCM
. Третья высота MN
этого треугольника проходит через точку H
, причём прямая MN
перпендикулярна AD
, так как лежит в плоскости \alpha
, перпендикулярной AD
. Следовательно, точка H
лежит на общем перпендикуляре MN
прямых AD
и BC
.
Если точка P
совпадает с C
, то все плоские углы при вершине C
тетраэдра прямые, значит, все высоты тетраэдра пересекаются в точке C
, а высота CM
треугольника ACD
— общий перпендикуляр прямых AD
и BC
.