9108. Существует ли выпуклый многогранник, у которого есть диагонали и любая диагональ меньше любого ребра?
Ответ. Существует.
Решение. Возьмём правильный треугольник ABC
со стороной 1 и две точки S_{1}
, S_{2}
, симметричные относительно его плоскости, причём S_{1}S_{2}=\frac{1}{3}
. Рассмотрим многогранник, состоящий из двух правильных пирамид с общим основанием ABC
и высотами S_{1}H=S_{2}H=\frac{1}{6}
. Тогда
S_{2}C=S_{2}B=S_{2}A=S_{1}C=S_{1}B=S_{1}A=\sqrt{S_{1}H^{2}+HA^{2}}=
=\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{13}}{6}\gt\frac{1}{3}.
Единственная диагональ S_{1}S_{2}=\frac{1}{3}
этого многогранника меньше любого из его рёбер.