9109. Сфера \omega
проходит через вершину S
пирамиды SABC
и пересекает рёбра SA
, SB
и SC
вторично в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Сфера \Omega
, описанная около пирамиды SABC
, пересекается с \omega
по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости ABC
. Точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
симметричны точкам A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
относительно середин рёбер SA
, SB
и SC
соответственно. Докажите, что точки A
, B
, C
, A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
лежат на одной сфере.
Решение. Первый способ. Утверждение задачи эквивалентно равенству SA_{2}\cdot SA=SB_{2}\cdot SB=SC_{2}\cdot SC
. Ввиду равенства AA_{1}=SA_{2}
и двух аналогичных, достаточно доказать, что AA_{1}\cdot AS=BB_{1}\cdot BS=CC_{1}\cdot CS
.
Пусть l
— прямая, проходящая через центры сфер \omega
и \Omega
(рис. 1). Окружность пересечения этих сфер лежит в плоскости, перпендикулярной l
, так что l\perp ABC
. Это значит, что при повороте вокруг l
описанная окружность треугольника ABC
переходит в себя, и подходящим таким поворотом можно точку A
перевести в B
. Пусть точки S
и A_{1}
при этом повороте переходят в S'
и A'_{1}
(они тоже лежат на \omega
). Тогда AA_{1}=BA_{1}'
и AS=BS'
, а так как отрезки BB_{1}
и BS'
вторично пересекают сферу \omega
в точках S
и S'
, то BA_{1}'\cdot BS'=BB_{1}\cdot BS
. Следовательно, AA_{1}\cdot AS=BA'_{1}\cdot BS'=BB_{1}\cdot BS
.
Равенство AA_{1}\cdot AS=CC_{1}\cdot CS
доказывается аналогично.
Второй способ. Обозначим через O_{1}
и O
центры сфер \omega
и \Omega
соответственно (рис. 2). Как и в первом решении, введём прямую l
, проходящую через O
и O_{1}
тогда l\perp ABC
.
Пусть O_{2}
— точка, симметричная O_{1}
относительно O
. Тогда O_{2}
лежит на l
, откуда O_{2}A=O_{2}B=O_{2}C
. Обозначим r=O_{2}A
. Проекции точек O_{2}
и O_{1}
на SA
симметричны относительно проекции точки O
, т. е. относительно середины A'
отрезка SA
. Поскольку проекция точки O_{1}
является серединой отрезка SA_{1}
, из симметрии относительно A'
получаем, что проекция точки O_{2}
— это середина отрезка AA_{2}
. Значит, A_{2}O_{2}=AO_{2}=r
. Аналогично показывается, что B_{2}O_{2}=C_{2}O_{2}=r
. Значит, требуемые шесть точек лежат на сфере с центром O_{2}
и радиусом r
.
Автор: Богданов И. И.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2013-2014, XL, заключительный этап, 10-11 класс