9110. Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды ABCD
касаются её грани BCD
в различных точках X
и Y
. Докажите, что треугольник AXY
тупоугольный.
Решение. Первый способ. Пусть гомотетия с центром в точке A
, переводящая вневписанную сферу во вписанную, переводит точку Y
в некоторую точку Z
вписанной сферы. Эта гомотетия переводит плоскость BCD
в плоскость, параллельную BCD
и касающуюся вписанной сферы в точке Z
. Значит, X
и Z
— диаметрально противоположные точки вписанной сферы, а следовательно, XZ\perp BCD
. Поскольку Z
лежит на отрезке AY
, то \angle AXY\gt\angle ZXY=90^{\circ}
.
Второй способ. Пусть I
и J
— соответственно центры вписанной и вневписанной сфер, а AH
— высота пирамиды. Точки A
, I
и J
лежат на одной прямой (все точки которой равноудалены от плоскостей ABC
, ACD
и ADB
), причём I
лежит между A
и J
. Значит, их проекции H
, X
и Y
на плоскость BCD
также лежат на одной прямой, причём X
лежит между H
и Y
. Итак, основание высоты AH
треугольника AXY
лежит вне стороны XY
, и, следовательно, этот треугольник — тупоугольный.
Автор: Шмаров В. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2012-2013, XXXIX, заключительный этап, 11 класс