9112. Основание пирамиды — параллелограмм. Докажите, что её объём равен двум третям произведения площади боковой грани на расстояние от этой плоскости до параллельного ей ребра основания.
Решение. Пусть параллелограмм ABCD
— основание четырёхугольной пирамиды SABCD
, h
— расстояние от прямой CD
до плоскости грани ABE
.
Разобьём пирамиду SABCD
на две пирамиды: DEAB
и DEBC
с основаниями ABD
и BCD
. Их объёмы равны, так как S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BCD}
и расстояние от общей вершины E
до их оснований одно и то же. Поэтому
V=2V_{DEAB}=2\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABE}\cdot h=\frac{2}{3}S_{\triangle ABE}\cdot h.
Что и требовалось доказать.