9114. Дан тетраэдр ABCD
. Вписанная в него сфера \omega
касается грани ABC
в точке T
. Сфера \omega'
касается грани ABC
в точке T'
и продолжений граней ABD
, BCD
, CAD
. Докажите, что прямые AT
и AT'
симметричны относительно биссектрисы угла BAC
.
Решение. Обозначим через M
, M'
точки касания сфер \omega
, \omega'
с плоскостью ABD
, а через N
, N'
— точки касания сфер \omega
, \omega'
с плоскостью ACD
соответственно. Пусть D'
— некоторая точка на продолжении отрезка AD
за точку A
. Из равенства отрезков касательных, проведённых из одной точки к сфере, получаем:
DM=DN,~D'M'=D'N',~BM=BT,~CN=CT,
BM'=BT',~CN'=CT',~AM=AN=AT,~AM'=AN'=AT'.
Отсюда следуют равенства треугольников (по трём сторонам):
\triangle DMA=\triangle DNA,~\triangle D'M'A=\triangle D'N'A,~\triangle ABM=\triangle ABT,~
\triangle ABM'=\triangle ABT',~\triangle ACN=\triangle ACT,~\triangle ACN'=\triangle ACT'.
Из выписанных равенств следует, что
\angle BAT+\angle BAT'=\angle BAM+\angle BAM'=\angle MAM'=180^{\circ}-\angle DAM-\angle D'AM'=
=180^{\circ}-\angle DAN-\angle D'AN'=\angle NAN'=\angle CAN+\angle CAN'=\angle CAT+\angle CAT'.
Итак,
\angle BAT-\angle CAT=\angle CAT'-\angle BAT',
откуда \angle BAT=\angle CAT'
. Что и требовалось доказать.