9116. Грани двугранного угла пересекают боковую поверхность цилиндра радиуса 5, образуя с его осью углы в 70^{\circ}
и 80^{\circ}
, а боковое ребро двугранного угла перпендикулярно этой оси и удалено от неё на расстояние 11. Найдите объём части цилиндра, расположенного внутри двугранного угла.
Ответ. 275\pi(\tg20^{\circ}\pm\tg10^{\circ})
.
Решение. Пусть грани \alpha
и \beta
данного двугранного угла пересекают ось цилиндра в точках A
и B
, а плоскость \gamma
, проходящая через ребро угла, пересекает её в точке C
. Рассмотрим сечение цилиндра и двугранного угла плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Получим прямоугольник и пересекающие его стороны линейного угла данного двугранного угла. Пусть сторона линейного угла, лежащая в плоскости \alpha
, пересекает стороны прямоугольника (или их продолжения) в точках D
и E
, прямая, проходящая через точку C
перпендикулярно AB
, — в точках M
и N
, причём точки D
и M
лежат на одной стороне прямоугольника (см. рис.), а P
— точка пересечения прямых DE
и MN
.
Через точку A
проведём прямую параллельную MN
. Пусть K
и L
— точки её пересечения с прямыми DM
и EN
соответственно.
Пусть R
— радиус цилиндра. Объём части цилиндра, заключённой между плоскостями \gamma
и \alpha
, равен объёму цилиндра высотой AC
и радиусом R
, так как объём фигуры вращения вокруг оси цилиндра прямоугольного треугольника ALE
, равен объёму фигуры вращения равного ему треугольника AKD
.
Поскольку
AC=PC\ctg\angle PAC=11\ctg70^{\circ}=11\tg20^{\circ},
то объём части цилиндра, заключённой между плоскостями \alpha
и \gamma
, равен
\pi R^{2}\cdot AC=25\pi\cdot11\tg20^{\circ}=275\pi\tg20^{\circ}.
Аналогично находим, что объём части цилиндра, заключённой между плоскостями \beta
и \gamma
, равен 275\pi\tg10^{\circ}
. Следовательно, объём части цилиндра, заключённой между плоскостями \alpha
и \beta
, равен
\pi R^{2}\cdot BC=275\pi(\tg20^{\circ}\pm\tg10^{\circ})
(где знак плюс или минус зависит от того, как расположены плоскости \alpha
и \beta
— по разные стороны от плоскости \gamma
или по одну).
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2007, Вариант 1, № 8
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 16