9125. В правильной четырёхугольной призме ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA_{1}
отмечена точка E
так, что AE:EA_{1}=1:3
.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC
и BED_{1}
.
б) Найдите угол между плоскостями ABC
и BED_{1}
.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{10}}{3}
.
Решение. а) Продолжим отрезки AD
и D_{1}E
до пересечения в точке M
. Тогда M
и B
— общие точки плоскостей ABC
и BED_{1}
. Следовательно, BM
— прямая пересечения этих плоскостей.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины A
на прямую BM
. Поскольку EA
— перпендикуляр к плоскости ABC
, отрезок AH
— ортогональная проекция наклонной EH
на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах EH\perp BM
, значит, AHE
— линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC
и BED_{1}
.
Из подобия треугольников EA_{1}D_{1}
и EAM
находим, что
AM=A_{1}D_{1}\cdot\frac{A_{1}E}{EA}=\frac{1}{3}A_{1}D_{1}=1.
Поскольку AH
— высота прямоугольного треугольника BAM
с катетами AM=1
, AB=3
и гипотенузой BM=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}
, то
AH=\frac{AM\cdot AB}{BM}=\frac{1\cdot3}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.
Следовательно,
\tg\angle AHE=\frac{EA}{AH}=\frac{1}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{10}}{3}.